滤子与广义极限

参考资料：

滤子是一种抽象的「极限方向」．它描述「沿着某种方式趋近」的概念．用滤子定义极限的好处是它提供了一个统一的框架，涵盖了数列极限、函数极限、拓扑空间中的收敛等各种类型的极限过程．相比于网，滤子不需要依赖于一个特定的索引集合，从而避免了选择公理的使用．

滤子的定义

设是一个集合．对于上的一个子集族，如果满足以下条件，则是上的一个滤子：

包含全集：．
向上封闭：若且，则．
交集封闭：若，则．

记为上的所有滤子组成的集合．

直观上，中包含了「最终满足的条件」的集合．比如在研究数列极限时，「包含除有限项外所有项的无限集的集合」就是一个滤子．

主滤子与生成滤子

主滤子 (Principal Filter) ：由的一个子集生成的滤子，定义为，即的所有超集的集合．

生成滤子 (Generated Filter) ：若将上述定义中的一个集合推广为一个集合族，可以定义由生成的滤子，记作，它是包含的最小滤子．

是通过中的集合进行有限次交集和超集扩展得到的闭包．

包含中的所有集合：．
是一个滤子：
- 包含全集：．
- 向上封闭：如果且，则．
- 交集封闭：如果，则．

用集合论的语言，可以描述为．其中表示是一个有限集，表示中所有集合的交集．

主滤子是生成滤子的一个特例：．

滤子的序关系与格结构

滤子上可以定义一个偏序关系 ：．注意这里的包含关系是反向的．

若，我们说比 更细（finer），或是的一个 细化（refinement）．

我们认为更精确、包含更多约束的状态是「小」的．

滤子包含的集合越多，意味着「最终」满足的条件越多，描述的情况就越具体、越精细．
滤子包含的集合越少，约束越宽松，描述的情况越模糊．

因此，在偏序关系中把更精确的东西放在下面，把更粗糙的东西放在上面．

是包含所有子集的滤子（即包含空集的滤子）．它是最精确的，精确到「矛盾」的状态．是只包含全集的滤子．它是最模糊的，什么信息都没有．

下确界 (Infimum)：两个滤子的交集生成的滤子，代表同时满足两者的约束．
可以证明上述定义的下确界是一个滤子．
- 包含全集：全集同时在和中，所以．
- 向上封闭：如果且，则存在和使得．因为和都是滤子，由和得和，因此．
- 交集封闭：如果，则存在和使得和．因此，．因为和都是滤子，所以和，因此．
上确界 (Supremum)：同时属于两个滤子的集合，代表对两者的约束取公共的约束．

容易验证上述定义的上确界是一个滤子．
最大元素 (Top)：只包含一个全集的滤子，代表「没有任何约束」．．
最小元素 (Bottom)：包含所有子集的滤子．这等价于包含空集．在逻辑上代表「矛盾」．．

二元上下确界可以被推广到任意滤子集合的上下确界：

对于上的滤子集合，其上确界是

利用完备格的性质，可以利用上确界来定义下确界：对于滤子集合，其下确界定义为．在滤子意义下，下确界是由有限交生成的滤子．若是一个指标集，是一个滤子族，那么一个集合属于当且仅当：存在一个有限指标集和一个选取函数，使得是所选集合的交集．选取函数从每个中选取一个集合，即需要满足．

这些定义使得滤子在细化关系下形成一个完备格（Complete Lattice）．

非平凡滤子 (NeBot)：满足的滤子，等价于．大多数有意义的数学讨论都发生在此类滤子上．

逻辑量词的滤子表达

类似模态逻辑中的「必然」和「可能」，滤子也可以用来表达「最终」和「经常」的概念：

最终 (Eventually, )：意味着．

例如：在数列中，「最终成立」指从某项起全部成立．
经常 (Frequently, )：意味着．

这表示出现的频率「不低」，无法被滤子排除掉．

滤子的映射与极限

设是一个函数，是上的滤子．那么集合

是上的一个滤子，称为在下的像．

实际上，定义的最外层也可以用原像算子来表达：．其中函数的类型是，，．

原像算子具有良好的性质：它是一个布尔代数同态，保持了集合运算和包含关系：

；
；
；
如果，那么．

可以验证是上的一个滤子．

包含全集：，所以．
向上封闭：如果且，则且，所以，因此．
交集封闭：如果，则，，所以，因此．

例如，在实数空间中，对于函数和滤子，有

极限与收敛

趋近于 (Tendsto) 是极限的统一高度抽象．

表示函数沿着滤子趋近于滤子．严格地说，对于滤子中的每个集合，函数的原像都必须在滤子中．

如果利用细化和映射的概念，这个定义也可以等价地表达为

例如函数，极限式的滤子定义是．可以验证这与传统的定义等价：我们有，，

邻域滤子

设是一个拓扑空间，是其中的一个点．上的邻域滤子是由的邻域生成的滤子．邻域的定义：一个集合是的邻域，如果存在一个开集使得．

例如，在实数空间中，包含所有包含的开区间以及它们的超集：

限制邻域滤子是由的邻域与集合的交集生成的滤子．它描述了「在内趋近于」的概念．．

基于限制邻域滤子，我们可以定义一系列邻域滤子：

顶部、底部滤子

顶部滤子和底部滤子是在预序集（Preorder）上定义的滤子，用于描述趋向于正无穷和负无穷的极限过程．

对于一个预序集，是由所有上集生成的滤子，表示「趋向于」的极限过程．同样地，是由所有下集生成的滤子，表示「趋向于」的极限过程．

用滤子定义极限

下面是一些使用滤子定义的极限示例：

类型	传统符号	滤子定义
实数列极限
函数在点的极限
无穷远处极限
趋于无穷大
左极限