电磁感应中电容器和动杆的等效转化

参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/108494777

电磁感应问题中含电容器模型可能在理解上存在较大的难度。本文介绍一种将电容器与动杆等效转化的方法。

问题背景

水平面上固定有两根足够长的光滑平行金属导轨，间距为 $L$ ，导轨电阻不计。整个空间内存在垂直导轨平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为 $B$ 。

导轨左边接入电容为 $C$ 的理想电容器，一个质量为 $m$ 、电阻为 $R$ 的导体棒与导轨垂直放置且接触良好。初始状态下电容器的电量为零，金属棒具有向右的初速度 $v_{0}$ 。试分析金属棒的运动情况。

转化根据

在一般电磁感应问题中，磁场中仅受安培力作用的无电阻动杆与接入电路的电容器都有一种性质，即其两端电压变化量与流经它们的电荷量成正比，下面给出证明：

对于动杆，设某时刻电流为 $i$ ，则安培力为 $F = i B L$ ，由动量定理可知

m d v = i B L d t

积分得

m (v - v_{0}) = (Q - Q_{0}) B L

由于杆的电阻为零，因此杆两端电压等于感应电动势，即 $U = E = B Lv$ ，代入上式得

\frac{m}{B L} (U - U_{0}) = (Q - Q_{0}) B L

即

Δ U = Δ Q \frac{B ^{2} L ^{2}}{m}

这与电容器的规律 $Δ U = \frac{Δ Q}{C}$ 相似，可将

C_{0} = \frac{m}{B ^{2} L ^{2}}

视为该杆的等效电容。

同样地，可以将电容为 $C$ 的电容器等效为质量

m_{0} = B^{2} L^{2} C

的动杆。

能量上的相似性

我们已经看到动杆与电容器在简单的电学性质上有明显的相似性。在能量上，二者也具有相似性。杆与电容器都将电能转化为其他形式的能量储存了起来，对于杆来说是动能，对于电容器则为电场能。因而本质上它们都是储存电能的元件。

推导电容器所储存的能量

为了增加电容器上的电荷和电压，必须由外部电源对抗电场力做功，使电荷从负极板移动到正极板。如果电容器上的电压是 $U$ ，将一小部分电荷 $d q$ 从负极板移动到正极板所作的功 $d W = U d q$ 。这些能量被储存在板间的电场中。储存在电容器中的总能量 $E$ （以焦耳表示）等于从不带电状态建立电场时做的总功。

E = \int_{0}^{Q} U (q) d q = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = \frac{1}{2} \frac{Q ^{2}}{C}

代入 $Q = U C$ 可以得到以下等价形式

E = \frac{1}{2} U Q = \frac{1}{2} C U^{2}

推导动能

我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。

W = \int F \cdot d s

根据牛顿第二定律

F = m a = m \frac{d v}{d t}

在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。

W = \int m \frac{d v}{d t} \cdot d s = \int m v \cdot d v = \frac{1}{2} m v^{2} + C_{0}

其中 $W$ 代表功， $t$ 代表时间， $v$ 代表速度， $v$ 代表速率， $m$ 代表质量， $C_{0}$ 代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此，动能

E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}

关系

对于电容为 $C$ 、电压为 $U$ 的电容器，其储存的能量为 $E = \frac{1}{2} C U^{2}$ 。

若把它等效为 $m_{0} = B^{2} L^{2} C$ ， $v = \frac{U}{B L}$ 的动杆，则杆的动能为 $E_{k} = \frac{1}{2} m_{0} v^{2} = \frac{1}{2} B^{2} L^{2} C (\frac{U}{B L})^{2} = \frac{1}{2} C U^{2}$

可以看到二者能量的表达式是等价的。

对理解和解决实际问题的帮助

正因为动杆和电容器在电学特性上的相似性，在一些实际问题中可以将电容器与动杆相互转换，从而使问题更容易理解和解决。

单杆电容初速度问题与双杆初速度问题的转换

一般来说这两类问题中双杆初速度问题的解决比较简单。下面首先考虑单杆电容初速度问题。

设电容器的电容为 $C$ ，轨道间隔 $L$ ，杆的初速度 $v_{0}$ ，质量 $m$ 。给出某时刻杆的速度为 $v$ ，求此时电容器的电压 $U$ 。

设此过程中电路通过的电荷量为 $Q$ ，根据动量定理

m d v = - i B L d t m (v - v_{0}) = - QB L

根据电容器的性质

U = \frac{Q}{C}

解得

U = \frac{m ( v _{0} - v )}{CB L} (3.1.1)

对于末态，则将上式与

$B Lv = U$

联立，解得

U = \frac{m B L v _{0}}{C B ^{2} L ^{2} + m} (3.1.2)

若用质量 $m_{0} = B^{2} L^{2} C$ 的杆替代电容器。在另一杆速度为 $v$ 的某时刻，此等效杆的速度 $v_{2}$ 由动量守恒给出

m v_{0} = m v + m_{0} v_{2}

代入 $U = E = B L v_{2}$ 以及 $m_{0} = B^{2} L^{2} C$ ，得

U = \frac{m ( v _{0} - v )}{CB L} (3.1.3)

而对于末态，由动量守恒得

m v_{0} = (m + m_{0}) v

同样代入 $U = E = B Lv$ 和 $m_{0} = B^{2} L^{2} C$ 得

U = \frac{m B L v _{0}}{C B ^{2} L ^{2} + m} (3.1.4)

显然 $(3.1.1)$ ， $(3.1.2)$ 式与 $(3.1.3)$ ， $(3.1.4)$ 式的结果是一致的。

单杆电容拉力问题与双杆拉力问题的转换

进一步地，我们考虑单杆电容拉力问题与双杆拉力问题的处理。一般来说相较而言其中双杆拉力问题是更容易理解和解决的。下面首先考虑单杆电容拉力问题。

作用在杆上的拉力为 $F$ ，其它条件与上面两题相同，求末态稳定电流 $I$ 。通过稳定条件

B L d v = d u

以及动量定理和电容器的性质

(F - I B L) d t = m d v

d u = \frac{d q}{C} = \frac{i d t}{C}

解出

I = \frac{CB L F}{m + C B ^{2} L ^{2}} (3.2.1)

若用质量 $m_{0} = B^{2} L^{2} C$ 的杆替代电容器，结合稳定条件和牛顿第二定律

F = (m + m_{0}) a I B L = m_{0} a

解得

I = \frac{CB L F}{m + C B ^{2} L ^{2}} (3.2.2)

显然 $(3.2.1)$ 与 $(3.2.2)$ 式的结果是一致的

在上面两个例子中，基本上利用杆的动力学关系解题都会比用电容的电学性质解题更为简便，且更容易理解。希望这种方法能对读者解决其它更多的问题带来启发和帮助。

问题背景 ​

转化根据 ​

能量上的相似性 ​

推导电容器所储存的能量 ​

推导动能 ​

关系 ​

对理解和解决实际问题的帮助 ​

单杆电容初速度问题与双杆初速度问题的转换 ​

单杆电容拉力问题与双杆拉力问题的转换 ​