“半代法”求圆锥曲线切线方程的原理（隐函数求导）

“隐函数求导法”求圆雉曲线的切线方程

参考《妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程》
以下推导默认切线斜率存在。切线斜率不存在时，换成对 $y$ 求导即可得出相同的公式。

一般形式

对于圆锥曲线 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0(A^2+B^2\ne 0)$ 求关于 $x$ 的导数得

$2Ax+By+Bx{y}^{\prime }+2Cy{y}^{\prime }+D+E{y}^{\prime }=0$

即 $y^{\prime }=-\frac{2Ax+By+D}{Bx+2Cy+E}$

设 $P\left(x_0,y_0\right)$ 是曲线上的一点，则过此点的切线斜率为 $-\frac{2A{x}_0+B{y}_0+D}{B{x}_0+2C{y}_0+E}$

所以切线方程为 $y-y_0=-\frac{2A{x}_0+B{y}_0+D}{B{x}_0+2C{y}_0+E}\left(x-x_0\right)$

即 $B{x}_{0}y+2Cy{y}_0+Ey-B{x}_0{y}_0-2C{y}_0^2-E{y}_0=-2Ax{x}_0-Bx{y}_0-Dx+2A{x}_0^2+B{x}_0{y}_0+D{x}_0$

$2Ax{x}_0+B{x}_{0}y+Bx{y}_0+2Cy{y}_0+Dx+Ey=2A{x}_0^2+2C{y}_0^2+2B{x}_0{y}_0+D{x}_0+E{y}_0$

$Ax{x}_0+\frac{B{x}_{0}y+Bx{y}_0}{2}+Cy{y}_0+\frac{Dx}{2}+\frac{Ey}{2}=A{x}_0^2+B{x}_0{y}_0+C{y}_0^2+\frac{D{x}_0}{2}+\frac{E{y}_0}{2}$

所以切线方程为 $Ax{x}_0+B\frac{x_{0}y+x{y}_0}{2}+Cy{y}_0+D\frac{x+x_0}{2}+E\frac{y+y_0}{2}+F=0$

综上，若求圆锥曲线 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 以 $P\left(x_0,y_0\right)$ 为切点的切线方程，只需将圆锥曲线方程中的这些字母进行替换：

替换前	替换后
$x^2$	$x_{0}x$
$y^2$	$y_{0}y$
$x$	$\frac{x_0+x}{2}$
$y$	$\frac{y_0+y}{2}$
$xy$	$\frac{x_{0}y+x{y}_0}{2}$

配方形式

特殊地，若圆锥曲线的方程是配方后的形式：$A(x-m{)}^2+B(y-n{)}^2+C=0$，则过点 $M\left(x_0,y_0\right)$ 的切线方程为 $A\left(x_0-m\right)(x-m)+B\left(y_0-n\right)(y-n)+C=0$

要证明这个公式，可以直接对 $A(x-m{)}^2=A{x}^2-2Amx+A{m}^2$ 套用上面的结论，即 $A{x}_{0}x-2Am\frac{x_0+x}{2}+A{m}^2=A{x}_{0}x-Am{x}_0-Amx+A{m}^2=Ax(x_0-m)-Am(x_0-m)=A(x_0-m)(x-m)$，所以 $A(x-m{)}^2\to A(x_0-m)(x-m)$
同理有 $B(x-n{)}^2\to B(x_0-n)(x-n)$

故 $A(x-m{)}^2+B(y-n{)}^2+C=0\to A\left(x_0-m\right)(x-m)+B\left(y_0-n\right)(y-n)+C=0$

或者，也可以直接对 $A(x-m{)}^2+B(y-n{)}^2+C=0$ 求关于 $x$ 的导数，得 $2A(x-m)+2B(y-n)y^{\prime }=0$，即 $y^{\prime }=-\frac{A(x-m)}{B(y-n)}$

所以切线方程为 $y-y_0=-\frac{A(x_0-m)}{B(y_0-n)}(x-x_0)$

即 $A(x_0-m)(x-x_0)+B(y_0-n)(y-y_0)=0$

$A(x_0-m)(x-m+m-x_0)+B(y_0-n)(y-n+n-y_0)=0$

$A(x_0-m)(x-m)+B(y_0-n)(y-n)=A(x_0-m{)}^2+B(y_0-n{)}^2=-C$

即 $A\left(x_0-m\right)(x-m)+B\left(y_0-n\right)(y-n)+C=0$

另：向量法求圆的切线方程

设圆上一点 $A\left(x_0,y_0\right)$, 则 $\overrightarrow{OA}\left(x_0-a,y_0-b\right)$

设切线上任意点 $B\left(x,y\right)$

则 $\overrightarrow{AB}=\left(x-x_0,y-y_0\right)$ 为切线的方向向量

因为切线与半径垂直，所以

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OA}=\left(x-x_0\right)\left(x_0-a\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-y_0\right)\\ =& \left(x-a+a-x_0\right)\left(x_0-a\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-b+b-y_0\right)\\ =& (x-a)\left(x_0-a\right)+(y-b)\left(y_0-b\right)-{\left(x_0-a\right)}^2-{\left(y_0-b\right)}^2\\ =& 0\end{array}$$

故有 $\left(x_0-a\right)\left(x-a\right)+(y_0-b)\left(y-b\right)={\left(x_0-a\right)}^2+{\left(y_0-b\right)}^2=r^2$

所以切线方程为 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

例子

圆

若点 $M\left(x_0,y_0\right)$ 在圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上，则过点 $M$ 的切线方程为 $\left(x_0-a\right)(x-a)+\left(y_0-b\right)(y-b)=r^2$

已知圆 $C:(x-1{)}^2+y^2=4$，过点 $(2,\sqrt{3})$ 的切线方程为 $(2-1)(x-1)+\sqrt{3}y=4$，即 $x+\sqrt{3}y-5=0$

椭圆

若点 $P\left(x_0,y_0\right)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，则过点 $P$ 的切线方程为 $\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，过点 $(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的切线方程为 $\frac{x}{4}+\frac{\sqrt{3}y}{2}=1$，即 $x+2\sqrt{3}y-4=0$

双曲线

若点 $P\left(x_0,y_0\right)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上，则过点 $P$ 的切线方程为 $\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

抛物线

若点 $P\left(x_0,y_0\right)$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，则过点 $P$ 的切线方程为 $y_{0}y=2p\frac{x_0+x}{2}$ 即 $y_{0}y=p(x_0+x)$