高中数学柯西不等式的应用

柯西不等式

柯西不等式是由大数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作 Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式（柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式），因为后两位数学家彼此独立地把该不等式在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

二维形式

$$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge (ac+bd{)}^2$$

等号成立当且仅当 $ad=bc$ （即 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ 或 $c=d=0$）时。

证明

向量法

设 $\vec{m}=(a,b),\vec{n}=(c,d)$，两向量夹角为 $\theta$。

则 $|\vec{m}||\vec{n}|\cos \theta =\vec{m}\cdot \vec{n}$

所以 $|\vec{m}{|}^2|\vec{n}{|}^2{\cos }^2\theta =(\vec{m}\cdot \vec{n}{)}^2$

又因为 $0\le {\cos }^2\theta \le 1$

所以 $|\vec{m}{|}^2|\vec{n}{|}^2\ge (\vec{m}\cdot \vec{n}{)}^2$

即 $\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge (ac+bd{)}^2$

构造法

$$\begin{array}{rl}\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)& =a^2{c}^2+b^2{d}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2\\ & =(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2\\ & \ge (ac+bd{)}^2(a,b,c,d\in \mathbb{R})\end{array}$$

等号当且仅当 $ad-bc=0$ 即 $ad=bc$。

一般形式

$$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{}^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i{}^2\right)\ge {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2$$

等号成立当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots =\frac{a_n}{b_n}$ 或 $a_i,b_i$（$i=1,2,3,\cdots ,n$）中有至少一方全为零。

证明

不等式可以表示成

$(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\ge (x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n{)}^2$

当 $x_i$（$i=1,2,3,\cdots ,n$）或 $y_i$（$i=1,2,3,\cdots ,n$）全部为零时，上式显然取到等号。下面考虑 $x_i,y_i$（$i=1,2,3,\cdots ,n$）均不为零的情况。

考虑一个关于 $t$ 的一个一元二次方程 $(x_{1}t+y_1{)}^2+\cdots +(x_{n}t+y_n{)}^2=0$

很明显的，此方程无实数解或有重根，故其判别式 $\Delta \le 0$

注意到 $(x_{1}t+y_1{)}^2+\cdots +(x_{n}t+y_n{)}^2\ge 0$

所以 $(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)t^2+2(x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n)t+(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\ge 0$

则 $\Delta =4(x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n{)}^2-4(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\le 0$

即 $(x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2)\ge (x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n{)}^2$

而等号成立于判别式 $\Delta =0$ 时

也就是此时方程有重根，故 $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots =\frac{x_n}{y_n}$

应用

平方与一次转换

例 已知正数 $a,b$ 满足 $a+2b=3$，求 $4a^2+5b^2$ 的最小值。

解 运用柯西不等式 $\left[{\left(2a\right)}^2+{\left(\sqrt{5}b\right)}^2\right]\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2\right]\ge {\left(a+2b\right)}^2$

即 $(4a^2+5b^2)(\frac{1}{4}+\frac{4}{5})\ge 3^2=9$

所以 $4a^2+5b^2\ge \frac{60}{7}$，最小值为 $\frac{60}{7}$

例 已知正数 $a,b$ 满足 $a^2+2b^2=4$，求 $a+3b$ 的最大值。

解 运用柯西不等式 $\left[a^2+{\left(\sqrt{2}b\right)}^2\right]\left[1^2+{\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)}^2\right]\ge {\left(a+3b\right)}^2$

即 $4\times (1+\frac{9}{2})\ge (a+3b{)}^2$

所以 $a+3b\le \sqrt{22}$，最大值为 $\sqrt{22}$

一次与分式转换

例 已知正数 $a,b$ 满足 $a+2b=3$，求 $\frac{4}{a}+\frac{5}{b}$ 的最小值。

解 运用柯西不等式 $\left[{\left(\sqrt{a}\right)}^2+{\left(\sqrt{2b}\right)}^2\right]\left[{\left(\frac{2}{\sqrt{a}}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{b}}\right)}^2\right]\ge {\left(2+\sqrt{10}\right)}^2$

即 $3\left(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}\right)\ge 14+4\sqrt{10}$

所以 $\frac{4}{a}+\frac{5}{b}\ge \frac{14+4\sqrt{10}}{3}$，最小值为 $\frac{14+4\sqrt{10}}{3}$

例 已知正数 $a,b$ 满足 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=3$，求 $3a+b$ 的最小值。

解 运用柯西不等式 $\left[{\left(\sqrt{3a}\right)}^2+{\left(\sqrt{b}\right)}^2\right]\left[{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{b}}\right)}^2\right]\ge {\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2$

即 $\left(3a+b\right)\times 3\ge 5+2\sqrt{6}$

所以 $3a+b\ge \frac{5+2\sqrt{6}}{3}$，最小值为 $\frac{5+2\sqrt{6}}{3}$

平方和为定值

例 （2017 年全国Ⅰ卷）10．已知 $F$ 为抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，过作两条互相垂直的直线 $l_1$，$l_2$，直线 $l_1$ 与 $C$ 交于 $A$、$B$ 两点，直线 $l_2$ 与 $C$ 交于 $D$、$E$ 两点，则 $|AB|+|DE|$ 的最小值为（　　）
A.16　　B.14　　C. 12　　D.10

解 $p=2$，设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\alpha$，则直线 $DE$ 的倾斜角为 $\alpha +\frac{\pi }{2}$

使用结论：$|AB|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }=\frac{4}{{\sin }^2\alpha }$，同理 $|DE|=\frac{4}{{\sin }^2(\alpha +\frac{\pi }{2})}=\frac{4}{{\cos }^2\alpha }$

结论推导见 圆锥曲线与极坐标

所以，根据柯西不等式，

$$\begin{array}{rl}|AB|+|DE|& =\frac{4}{{\sin }^2\alpha }+\frac{4}{{\cos }^2\alpha }\\ & =\left(\frac{4}{{\sin }^2\alpha }+\frac{4}{{\cos }^2\alpha }\right)\times 1\\ & =\left(\frac{4}{{\sin }^2\alpha }+\frac{4}{{\cos }^2\alpha }\right)\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)\\ & \ge {\left(\frac{2}{\sin \alpha }\sin \alpha +\frac{2}{\cos \alpha }\cos \alpha \right)}^2\\ & =(2+2{)}^2=16\end{array}$$

和为定值

例 函数 $y=\frac{1}{\cos x}+\frac{9}{2-\cos x}(0<x<\frac{\pi }{2})$ 在何处取得最小值？最小值是？

解 令 $t=\cos x(0<t<1)$，则 $y=\frac{1}{t}+\frac{9}{2-t}$

运用柯西不等式 $\left(\frac{1}{t}+\frac{9}{2-t}\right)(t+2-t)\ge (1+3{)}^2$

即 $y\times 2\ge 16$，$y\ge 8$，当且仅当 $\frac{2-t}{t}=\frac{9t}{2-t}$，即 $t=\frac{1}{2}$，$x=\frac{\pi }{3}$ 时取等号。

所以函数在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处取得最小值 $8$