参考资料：

11. 拓扑学 — Mathematics in Lean 0.1 documentation

传统极限定义的局限

在初等分析中，极限通常按以下几种形式出现：

• 实数列极限：lim (n → ∞) aₙ = l
• 实函数极限：lim (x → c) f(x) = L
• 多元函数、拓扑空间映射的极限等。

每种情况都要单独定义，比如：

• 对序列要考虑自然数趋于无穷；
• 对函数要考虑实数趋近某点；
• 对拓扑空间要换成“邻域”语言。

于是每类极限都需要单独写定义、定理、符号、转换规则 —— 很容易重复劳动。

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滤子的核心思想

在数学上，滤子（filter） 是一种抽象的“极限方向”。它描述“沿着某种方式趋近”的概念。

该概念支持两个相关的想法：

• 极限 ，包括上述讨论过的各种极限：数列的有限极限和无穷极限、函数在某点或无穷远处的有限极限和无穷极限等等。
• 最终发生的事情 ，包括对于足够大的自然数 n : ℕ 发生的事情，或者在某一点 x 足够近的地方发生的事情，或者对于足够接近的点对发生的事情，或者在测度论意义上几乎处处发生的事情。对偶地，滤子也可以表达 经常发生的事情 的概念：对于任意大的 n ，在给定点的任意邻域内存在某点发生，等等。

例如：

• 在实数上，点 a : ℝ 的邻域 𝓝 a 是一个滤子；
• (at_top : filter ℕ) 由所有包含 {n | n ≥ N} 的集合构成，其中 N 是某个自然数。 形式化地：∀ N : ℕ, {n | n ≥ N} ∈ at_top。

于是，所有“趋于某物”的概念都可以统一描述为：

当 x 沿着过滤器 F 变化时，f x 的像沿着过滤器 G 变化。

形式化地：

filter.tendsto f F G

而极限就是一种特殊情况： lim_{x → a} f(x) = L 被表示为

tendsto f (𝓝 a) (𝓝 L)

这种定义的最大优点是统一性：

类型	传统定义	filter 版本
实数列极限	lim (n→∞) aₙ = L	tendsto a at_top (𝓝 L)
函数在点的极限	lim (x→a) f(x) = L	tendsto f (𝓝 a) (𝓝 L)
无穷远处极限	lim (x→∞) f(x) = L	tendsto f at_top (𝓝 L)
左/右极限	lim (x→a⁺) f(x)	tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 L)

同一个 tendsto 定义可以涵盖所有这些情况。 于是理论结果（如极限的复合律、极限定理、连续性定义）都只需证明一次。

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💡 5. 与拓扑定义的关系

事实上，filter 是拓扑中定义收敛（convergence）的一种更强而优雅的方式。 一个点 l 是 f 在 F 下的极限，当且仅当：

对任意 G ∈ 𝓝 l，有 f⁻¹(G) ∈ F。

这就是 mathlib 中 tendsto f F (𝓝 l) 的本质。

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🧾 6. 小结

优点	说明
统一性	统一描述序列极限、函数极限、无穷极限等
简洁性	一次定义，广泛使用
抽象性	与拓扑学的邻域系统完美契合
可组合性	极限复合律、连续性、导数等性质容易形式化
可扩展性	可推广到任意拓扑空间、范畴、度量空间等

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如果你想更深入理解，可以看看 mathlib 中的定义：

def filter.tendsto (f : α → β) (F : filter α) (G : filter β) :=
  ∀ ⦃S : set β⦄, S ∈ G → f ⁻¹' S ∈ F

它精确地表达了“当 x 沿着 F 变化时，f(x) 沿着 G 变化”。

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要不要我帮你画一张图，对比一下“传统 ε-δ 定义”和 “filter 定义” 在逻辑结构上的对应？